圓錐曲線 31 條等高線畫法e 從 0 到 3 步進 0.130 分鐘看懂橢圓如何過渡到雙曲線【免費下載鏈接】Book3_Elements-of-MathematicsBook_3_《數(shù)學要素》 | 鳶尾花書從加減乘除到機器學習上架歡迎繼續(xù)糾錯糾錯多的同學還會有贈書項目地址: https://gitcode.com/GitHub_Trending/bo/Book3_Elements-of-Mathematics在 Book3_Ch09_Python_Codes/Bk3_Ch09_01.ipynb 里運行一次繪圖代碼畫布上會出現(xiàn) 31 條從紅到藍漸變的曲線靠中心的是圓往外一圈圈變扁的橢圓再往外彎成拋物線狀最外層劈出兩條向外張開的直線。這就是圓錐曲線等高線圖——同一張圖里裝下了全部三類圓錐曲線。讀完本文你能獨立畫出這條參數(shù)曲線族并解釋每個 $e$ 值對應哪種曲線。先看圖31 條等高線里藏著三個家族運行 notebook 第三段代碼后畫面是這么分布的網(wǎng)格$x$、$y$ 都在 $[-4, 4]$ 上各取 201 個點共 $201 \times 201$ 個采樣位參數(shù)$e$ 從 0 到 3 取 31 個值步長恰好 0.1所以 $e1.0$ 這一檔一定被命中配色RdYlBu色表把 31 條線染成紅→黃→藍的漸變方便按顏色追蹤某一條曲線隨 $e$ 長大后的樣子。為什么是 31 條$e$ 的步長 0.1 正好讓 0.0、1.0、2.0 這些整數(shù)檔位落在采樣點上——圓、拋物線、雙曲線各占一格觀察時不用估算。拆開方程一個參數(shù) e 憑什么切換三種曲線全部 31 條曲線來自同一個方程$$y^2 - (e^2 - 1)x^2 - 2x 0$$左邊 $y^2$ 項和 $-2x$ 項永遠不動$e$ 只藏在 $x^2$ 的系數(shù) $-(e^2 - 1)$ 里。曲線種類就由這個系數(shù)的符號決定$e$ 的取值$x^2$ 系數(shù)得到的曲線$e0$$1$圓 $x^2y^22x$即 $(x-1)^2y^21$圓心 $(1,0)$、半徑 1$0e1$$c$$0c1$橢圓$e$ 越接近 1 越扁$e1$$0$項消失拋物線 $y^22x$頂點在原點$e1$$-c0$雙曲線漸近線斜率 $\pm\sqrt{e^2-1}$代入驗證三行就夠$e0$ 得圓$e1$ 時 $x^2$ 項消失得 $y^22x$$e2$ 得 $y^2-3x^2-2x0$。順帶一個容易漏掉的事實所有曲線都過原點 $(0,0)$ 和 $(2,0)$——代回去兩個點恒成立這是整族曲線共用的幾何錨點。復現(xiàn)那幅漸變圖20 行 numpy 加 matplotlib下面這段代碼取自 Bk3_Ch09_01.ipynb 的核心在驗證的正是把 $e$ 掃過 0 到 3用 $z0$ 的等高線把每個 $e$ 對應的曲線一次畫全。運行后應看到上文描述的紅藍漸變曲線族最內圈為正圓兩條坐標軸過原點與 $(2,0)$。import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np x np.linspace(-4, 4, num201) y np.linspace(-4, 4, num201) xx, yy np.meshgrid(x, y) # 201 x 201 網(wǎng)格 e_array np.linspace(0, 3, num31) # e: 0.0, 0.1, ..., 3.0 fig, ax plt.subplots(figsize(8, 8)) colors plt.cm.RdYlBu(np.linspace(0, 1, len(e_array))) for i, e in enumerate(e_array): zz yy**2 - (e**2 - 1) * xx**2 - 2 * xx # 隱函數(shù) z(x, y) plt.contour(xx, yy, zz, levels[0], colors[colors[i]]) ax.axhline(0, colork); ax.axvline(0, colork) ax.set_xlim(-4, 4); ax.set_ylim(-4, 4) plt.show()這里用的是等高線法而不是參數(shù)化法曲線寫成隱函數(shù) $z(x,y)$讓contour在 201×201 的網(wǎng)格上找 $z0$ 的位置比逐點算 $y(x)$ 省事遇到垂直切線也不會斷。環(huán)境方面pip install numpy matplotlib jupyter之后克隆倉庫git clone https://gitcode.com/GitHub_Trending/bo/Book3_Elements-of-Mathematics再用jupyter notebook打開 Book3_Ch09_Python_Codes 下的Bk3_Ch09_01.ipynb逐格運行。圖形異常時先懷疑網(wǎng)格太稀把兩行l(wèi)inspace的num提到 401線條會明顯變光滑。越過 e1拋物線是橢圓和雙曲線之間的那一格e 跨過 1 時$x^2$ 系數(shù)從正翻成負曲線身份隨之切換。31 條采樣里第 10 條是 $e0.9$ 的扁橢圓第 11 條 $e1.0$ 是拋物線第 12 條 $e1.1$ 已是雙曲線——切換就發(fā)生在相鄰兩格之間肉眼可辨。兩個邊界現(xiàn)象值得記下只畫出半支雙曲線有左右兩支但 $y^2(e^2-1)x^22x$ 右邊必須非負在 $[-4,4]$ 窗口內通常只有靠近 $(2,0)$ 的那一支可見另一支被窗口裁掉。這是視野限制不是算法 bug。e 恰好為 1 時的退化$x^2$ 項消失方程從二次退化為 $y^22x$頂點正好在原點——這也解釋了為什么所有曲線都貼著原點穿過拋物線的頂點就是那個公共點 $(0,0)$ 之一。把 $e$ 的取值密度再加密試試np.linspace(0.9, 1.1, num21)你會看到拋物線被一圈圈幾乎重合的橢圓和雙曲線夾在中間過渡其實相當平滑。打開滑塊兩個 Streamlit 演示里參數(shù)在動什么想親手擰參數(shù)倉庫里備了兩個現(xiàn)成的交互演示。啟動方式相同streamlit run Book3_Ch09_Python_Codes/Streamlit_Bk3_Ch09_03.py第一個應用 Streamlit_Bk3_Ch09_03.py 的側邊欄有三個滑塊$m$、$n$ 控制矩形框的寬和長默認 1.5范圍 1.0 到 2.0$\rho$ 控制橢圓整體的傾斜方向默認 0范圍 -1 到 1。拖動時藍色橢圓始終內接虛線矩形四個紅色叉標在橢圓頂點上$\rho$ 從 0 拖到 ±1 的過程就是橢圓躺倒到矩形對角線的過程。第二個應用 Streamlit_Bk3_Ch09_04.py 走的是另一條路四個滑塊 $a$、$b$各 1.0 到 3.0和 $p$、$q$各 0.2 到 3.0控制這個封閉曲線$$\left|\frac{x_1}{a}\right|^{p} \left|\frac{x_2}\right|^{q} 1$$$pq2$ 是標準橢圓$pq1$ 得到菱形$p$ 或 $q$ 拖到 1 以下邊會向坐標軸方向凹陷。它和第一個應用共用同一套隱函數(shù)等高線畫法差別只是參數(shù)從滑塊讀取。同目錄的另外幾個 notebook 還覆蓋了第 9 章的其余小節(jié)路徑都在 Book3_Ch09_Python_Codes 下按文件名順序跑即可。圓錐曲線在這本書里的位置偏前半段橢圓隨后會在概率與統(tǒng)計章節(jié)以二維高斯分布的等高線和馬氏距離圈出的正常范圍兩種身份回頭出現(xiàn)理論部分可對照 Book3_Ch09_深入圓錐曲線__數(shù)學要素__從加減乘除到機器學習.pdf。下一步動手任務把第一段代碼里的 $-2x$ 換成 $-2dx$$d$ 從 0.5 到 3 取值 13 個畫出第二個參數(shù)掃過的曲線族看看圓心和公共交點如何跟著移動?！久赓M下載鏈接】Book3_Elements-of-MathematicsBook_3_《數(shù)學要素》 | 鳶尾花書從加減乘除到機器學習上架歡迎繼續(xù)糾錯糾錯多的同學還會有贈書項目地址: https://gitcode.com/GitHub_Trending/bo/Book3_Elements-of-Mathematics創(chuàng)作聲明：本文部分內容由AI輔助生成（AIGC），僅供參考 圓錐曲線 31 條等高線畫法：e 從 0 到 3 步進 0.1，30 分鐘看懂橢圓如何過渡到雙曲線
圓錐曲線 31 條等高線畫法e 從 0 到 3 步進 0.130 分鐘看懂橢圓如何過渡到雙曲線【免費下載鏈接】Book3_Elements-of-MathematicsBook_3_《數(shù)學要素》 | 鳶尾花書從加減乘除到機器學習上架歡迎繼續(xù)糾錯糾錯多的同學還會有贈書項目地址: https://gitcode.com/GitHub_Trending/bo/Book3_Elements-of-Mathematics在 Book3_Ch09_Python_Codes/Bk3_Ch09_01.ipynb 里運行一次繪圖代碼畫布上會出現(xiàn) 31 條從紅到藍漸變的曲線靠中心的是圓往外一圈圈變扁的橢圓再往外彎成拋物線狀最外層劈出兩條向外張開的直線。這就是圓錐曲線等高線圖——同一張圖里裝下了全部三類圓錐曲線。讀完本文你能獨立畫出這條參數(shù)曲線族并解釋每個 $e$ 值對應哪種曲線。先看圖31 條等高線里藏著三個家族運行 notebook 第三段代碼后畫面是這么分布的網(wǎng)格$x$、$y$ 都在 $[-4, 4]$ 上各取 201 個點共 $201 \times 201$ 個采樣位參數(shù)$e$ 從 0 到 3 取 31 個值步長恰好 0.1所以 $e1.0$ 這一檔一定被命中配色RdYlBu色表把 31 條線染成紅→黃→藍的漸變方便按顏色追蹤某一條曲線隨 $e$ 長大后的樣子。為什么是 31 條$e$ 的步長 0.1 正好讓 0.0、1.0、2.0 這些整數(shù)檔位落在采樣點上——圓、拋物線、雙曲線各占一格觀察時不用估算。拆開方程一個參數(shù) e 憑什么切換三種曲線全部 31 條曲線來自同一個方程$$y^2 - (e^2 - 1)x^2 - 2x 0$$左邊 $y^2$ 項和 $-2x$ 項永遠不動$e$ 只藏在 $x^2$ 的系數(shù) $-(e^2 - 1)$ 里。曲線種類就由這個系數(shù)的符號決定$e$ 的取值$x^2$ 系數(shù)得到的曲線$e0$$1$圓 $x^2y^22x$即 $(x-1)^2y^21$圓心 $(1,0)$、半徑 1$0e1$$c$$0c1$橢圓$e$ 越接近 1 越扁$e1$$0$項消失拋物線 $y^22x$頂點在原點$e1$$-c0$雙曲線漸近線斜率 $\pm\sqrt{e^2-1}$代入驗證三行就夠$e0$ 得圓$e1$ 時 $x^2$ 項消失得 $y^22x$$e2$ 得 $y^2-3x^2-2x0$。順帶一個容易漏掉的事實所有曲線都過原點 $(0,0)$ 和 $(2,0)$——代回去兩個點恒成立這是整族曲線共用的幾何錨點。復現(xiàn)那幅漸變圖20 行 numpy 加 matplotlib下面這段代碼取自 Bk3_Ch09_01.ipynb 的核心在驗證的正是把 $e$ 掃過 0 到 3用 $z0$ 的等高線把每個 $e$ 對應的曲線一次畫全。運行后應看到上文描述的紅藍漸變曲線族最內圈為正圓兩條坐標軸過原點與 $(2,0)$。import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np x np.linspace(-4, 4, num201) y np.linspace(-4, 4, num201) xx, yy np.meshgrid(x, y) # 201 x 201 網(wǎng)格 e_array np.linspace(0, 3, num31) # e: 0.0, 0.1, ..., 3.0 fig, ax plt.subplots(figsize(8, 8)) colors plt.cm.RdYlBu(np.linspace(0, 1, len(e_array))) for i, e in enumerate(e_array): zz yy**2 - (e**2 - 1) * xx**2 - 2 * xx # 隱函數(shù) z(x, y) plt.contour(xx, yy, zz, levels[0], colors[colors[i]]) ax.axhline(0, colork); ax.axvline(0, colork) ax.set_xlim(-4, 4); ax.set_ylim(-4, 4) plt.show()這里用的是等高線法而不是參數(shù)化法曲線寫成隱函數(shù) $z(x,y)$讓contour在 201×201 的網(wǎng)格上找 $z0$ 的位置比逐點算 $y(x)$ 省事遇到垂直切線也不會斷。環(huán)境方面pip install numpy matplotlib jupyter之后克隆倉庫git clone https://gitcode.com/GitHub_Trending/bo/Book3_Elements-of-Mathematics再用jupyter notebook打開 Book3_Ch09_Python_Codes 下的Bk3_Ch09_01.ipynb逐格運行。圖形異常時先懷疑網(wǎng)格太稀把兩行l(wèi)inspace的num提到 401線條會明顯變光滑。越過 e1拋物線是橢圓和雙曲線之間的那一格e 跨過 1 時$x^2$ 系數(shù)從正翻成負曲線身份隨之切換。31 條采樣里第 10 條是 $e0.9$ 的扁橢圓第 11 條 $e1.0$ 是拋物線第 12 條 $e1.1$ 已是雙曲線——切換就發(fā)生在相鄰兩格之間肉眼可辨。兩個邊界現(xiàn)象值得記下只畫出半支雙曲線有左右兩支但 $y^2(e^2-1)x^22x$ 右邊必須非負在 $[-4,4]$ 窗口內通常只有靠近 $(2,0)$ 的那一支可見另一支被窗口裁掉。這是視野限制不是算法 bug。e 恰好為 1 時的退化$x^2$ 項消失方程從二次退化為 $y^22x$頂點正好在原點——這也解釋了為什么所有曲線都貼著原點穿過拋物線的頂點就是那個公共點 $(0,0)$ 之一。把 $e$ 的取值密度再加密試試np.linspace(0.9, 1.1, num21)你會看到拋物線被一圈圈幾乎重合的橢圓和雙曲線夾在中間過渡其實相當平滑。打開滑塊兩個 Streamlit 演示里參數(shù)在動什么想親手擰參數(shù)倉庫里備了兩個現(xiàn)成的交互演示。啟動方式相同streamlit run Book3_Ch09_Python_Codes/Streamlit_Bk3_Ch09_03.py第一個應用 Streamlit_Bk3_Ch09_03.py 的側邊欄有三個滑塊$m$、$n$ 控制矩形框的寬和長默認 1.5范圍 1.0 到 2.0$\rho$ 控制橢圓整體的傾斜方向默認 0范圍 -1 到 1。拖動時藍色橢圓始終內接虛線矩形四個紅色叉標在橢圓頂點上$\rho$ 從 0 拖到 ±1 的過程就是橢圓躺倒到矩形對角線的過程。第二個應用 Streamlit_Bk3_Ch09_04.py 走的是另一條路四個滑塊 $a$、$b$各 1.0 到 3.0和 $p$、$q$各 0.2 到 3.0控制這個封閉曲線$$\left|\frac{x_1}{a}\right|^{p} \left|\frac{x_2}\right|^{q} 1$$$pq2$ 是標準橢圓$pq1$ 得到菱形$p$ 或 $q$ 拖到 1 以下邊會向坐標軸方向凹陷。它和第一個應用共用同一套隱函數(shù)等高線畫法差別只是參數(shù)從滑塊讀取。同目錄的另外幾個 notebook 還覆蓋了第 9 章的其余小節(jié)路徑都在 Book3_Ch09_Python_Codes 下按文件名順序跑即可。圓錐曲線在這本書里的位置偏前半段橢圓隨后會在概率與統(tǒng)計章節(jié)以二維高斯分布的等高線和馬氏距離圈出的正常范圍兩種身份回頭出現(xiàn)理論部分可對照 Book3_Ch09_深入圓錐曲線__數(shù)學要素__從加減乘除到機器學習.pdf。下一步動手任務把第一段代碼里的 $-2x$ 換成 $-2dx$$d$ 從 0.5 到 3 取值 13 個畫出第二個參數(shù)掃過的曲線族看看圓心和公共交點如何跟著移動?！久赓M下載鏈接】Book3_Elements-of-MathematicsBook_3_《數(shù)學要素》 | 鳶尾花書從加減乘除到機器學習上架歡迎繼續(xù)糾錯糾錯多的同學還會有贈書項目地址: https://gitcode.com/GitHub_Trending/bo/Book3_Elements-of-Mathematics創(chuàng)作聲明：本文部分內容由AI輔助生成（AIGC），僅供參考